വ്യതിരിക്തതയിലെ പ്രധാന പോയിന്റുകൾ

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്. ജെഇഇ മെയിൻ പരീക്ഷയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഡെറിവേറ്റീവ് വളരെ പ്രാധാന്യമുള്ള ഒരു വിഷയമാണ്. വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ നിന്ന് 2-3 ചോദ്യങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കാം. ജെഇഇ മെയിനിന് തയ്യാറെടുക്കുന്നവർ തീർച്ചയായും ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നേടുകയും ജെഇഇ മെയിനിനായി ചോദിച്ച മുൻവർഷങ്ങളിലെ ചോദ്യങ്ങൾ പരിശീലിക്കുകയും വേണം. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പ്രധാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഉയർന്ന-ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് മുതലായവയെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും.

y = f(x) എന്നത് ഒരു ഫങ്ഷനാണ്. അപ്പോൾ y യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് dy/dx കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ നമുക്ക് dy/dx = f'(x) എന്ന് എഴുതാം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനെ എന്നും വിളിക്കുന്നു വ്യത്യസ്തത. ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് x ന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് y യുടെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് എന്ന് നിർവചിക്കാം. ഒരു ഗ്രാഫിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള ടാൻജെന്റ് ലൈനിന്റെ ചരിവാണ് യഥാർത്ഥ മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. നമുക്ക് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നോക്കാം.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകൾ

1. (d/dx)xⁿ = nx^{N-ക്സനുമ്ക്സ}

2. c ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണെങ്കിൽ, (d/dx)c = 0

3. (d/dx) sin x = cos x

4. (d/dx) cos x = -sin x

5. (d/dx) ടാൻ x = സെക്കന്റ്² x

6. (d/dx) സെക്കന്റ് x = സെക്കന്റ് x ടാൻ x

7. (d/dx) cosec x = -cosec x cot x

8. (d/dx) cot x = -cosec²x 

9. (d/dx) ഇ^x = ഇ^x

10. (d/dx) ലോഗ് x = 1/x

ഉൽപ്പന്ന നിയമവും ക്വട്ടേഷൻ നിയമവും

വ്യതിരിക്തതയിലെ ഒരു പ്രധാന നിയമമാണ് ഉൽപ്പന്ന നിയമം. u ഉം v ഉം രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളാണെങ്കിൽ 

(d/dx) uv = u.(d/dx)v + v.(d/dx)u നൽകിയ ഉൽപ്പന്ന റൂൾ ഐഡി. 

(d/dx) u/v = [v എന്നാണ് ഘടക നിയമം നൽകിയിരിക്കുന്നത്. (d/dx) u – u.(d/dx) v]/v²

നമുക്ക് ഉൽപ്പന്ന നിയമത്തിന്റെയും ഘടക നിയമത്തിന്റെയും ഒരു ഉദാഹരണം ചർച്ച ചെയ്യാം.

ഉദാഹരണം 1: y = x sin x എന്ന് അനുവദിക്കുക. dy/dx കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: y = x sin x നൽകിയാൽ

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്.

u = x ഉം v = sin x ഉം ആകട്ടെ

(d/dx) uv = u.(d/dx)v + v.(d/dx)u. 

അതിനാൽ dy/dx = x cos x + sin x

ഉദാഹരണം 2: f(x) = x ആണെങ്കിൽ f'(x) കണ്ടെത്തുക²/(x+1).

പരിഹാരം:

നൽകിയത് f(x) = x²/(x+1)

u = x എന്ന് അനുവദിക്കുക² ഒപ്പം v = x+1

(d/dx) u/v = [v എന്നാണ് ഘടക നിയമം നൽകിയിരിക്കുന്നത്. (d/dx) u – u.(d/dx) v]/v²

f'(x) = [(x+1) 2x – x²]/(x+1)²

= (2x² + 2x - x²)/(x+1)²

= (x²+2x)/(x+1)²

= x(x+2)/(x+1)²

മാട്രിക്സ് 

വരികളിലെയും നിരകളിലെയും ഡാറ്റയുടെ ഒരു നിരയായി നമുക്ക് ഒരു മാട്രിക്സ് നിർവചിക്കാം. നൽകിയിരിക്കുന്ന മാട്രിക്‌സിന് m വരികളും n നിരകളും ഉണ്ടെന്ന് m×n എന്ന ക്രമത്തിന്റെ ഒരു മാട്രിക്സ് കാണിക്കുന്നു. എല്ലാ ഡയഗണൽ മൂലകങ്ങളും 1 ആയിരിക്കുകയും മറ്റ് മൂലകങ്ങൾ പൂജ്യമാകുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു മാട്രിക്സാണ് യൂണിറ്റ് മാട്രിക്സ്. രണ്ടിന്റെ ഗുണനം മെട്രിക്സ് ആദ്യ മെട്രിക്സിന്റെ നിരകളുടെ എണ്ണം രണ്ടാമത്തെ മെട്രിക്സിന്റെ വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. 

ശരിയായി പഠിച്ചാൽ മെട്രിക്സ് എളുപ്പമുള്ള വിഷയമാണ്. JEE മെയിനിന് തയ്യാറെടുക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മാട്രിക്സ് നന്നായി പഠിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, അതുവഴി അവർക്ക് ഈ വിഷയത്തിൽ നിന്നുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ തകർക്കാനും പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള റാങ്കുകൾ മെച്ചപ്പെടുത്താനും കഴിയും.